Question

数列{a_n}满足，前n项和
（1）写出a₂，a₃，a₄；
（2）猜出a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer

（1）根据，利用递推公式，分别令n=2，3，4．求出a1，a2，a3，a4；
（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出an，然后利用数学归纳法进行证明即得．
【解析】
（1）令n=2，∵，∴，即a1+a2=3a2．∴．
令n=3，得，即a1+a2+a3=6a3，∴．
令n=4，得，a1+a2+a3+a4=10a4，∴．
（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．
①当n=1时，结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即，
则当n=k+1时，
=，
即．
∴
∴．
∴当n=k+1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N+都有成立．