Question

设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁且斜率为k的直线交椭圆于A、B，且，求直线AB的方程．

Answer

（Ⅰ）一个顶点为，即a=，离心率为，可得c=1，再由a2=b2+c2，可得b=1，从而的椭圆方程
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AB的方程为 y=k（x+1）代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，从而得x1+x2、x1x2、y1+y2，而即，代入可得方程，解之即得k值
【解析】
（I）由已知得，解得a=，c=1
∴b==1
∴所求椭圆的方程为          
（II）由（I）得F1（-1，0），F2（1，0）
直线AB的方程为 y=k（x+1），
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=，x1x2=，
∴y1+y2=k（x1+x2+2）=，
又∵
∴
∴代入x1+x2与y1+y2的值
化简得40k4-23k2-17=0
解得k2=1或k2=（舍去）
∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1