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已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y...

已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数时,直线l与圆恒交于两点;
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程.
(1)把直线l的方程变形后,根据直线l恒过定点,得到关于x与y的二元一次方程组,求出方程组的解即为直线l恒过的定点坐标,然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离d,发现d小于圆的半径,得到此点在圆内,故直线l与圆恒交于两点; (2)由平面几何知识可知,当直线l与AC垂直时,所截取的线段最短,由圆心C和定点A的坐标求出直线AC的斜率,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,求出直线l的斜率,由A的坐标和求出的斜率写出直线l的方程,再由A与C的坐标,利用两点间的距离公式求出|AC|即为弦心距,根据圆的半径,弦心距及弦的一半构成的直角三角形,利用勾股定理即可求出此时的弦长. 【解析】 (1)由m(2x+y-7)+(x+y-4)=0知直线l恒过定点, 又, ∴直线l恒过定点A(3,1), 且(3-1)2+(1-2)2=5<25⇒A(3,1)必在圆内, 故直线l与圆恒有两交点. (2)∵圆心为C(1,2),定点为A(3,1) ∴ 由平面几何知识知,当直线l与AC垂直时所截线段最短,此时kl=2 ∴l方程为:y-1=2(x-3)⇒2x-y-5=0,此时 ∴最短弦长=
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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