Question

函数f（x）=（e^x-a）²+（e^-x-a）²（0＜a＜2）的最小值为（ ）
A．a²-2
B．2（a-1）²
C．2-a²
D．-2（a-1）²

Answer

将函数y=（ex-a）2+（e-x-a）2展开，令t=ex+e-x，从而可得关于t的关系式f（t）=t2-2at+2a2-2，根据0＜a＜2，结合函数的对称轴，利用二次函数的单调性 可求函数的最小值．
【解析】
由题意，y=（ex+e-x）2-2a（ex+e-x）+2a2-2．令t=ex+e-x，则f（t）=t2-2at+2a2-2．
∵t=ex+e-x≥2，
∴f（t）=（t-a）2+a2-2的定义域为[2，+∞）．
∵抛物线的对称轴方程是t=a，0＜a＜2
∴[2，+∞）是函数的单调递增区间
∴ymin=f（2）=2（a-1）2．
故选B．