Question

已知数列{a_n}满足a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．是否存在等差数列{b_n}，使得数列{a_n}与{b_n}满足a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_nC_nⁿ对一切正整数n成立？证明你的结论．

Answer

可令n=1，2，3，求得b1，b2，b3，由此猜想bn，
解法一：设Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn通过倒序相加法得到结论；
解法二：构造函数f（x）=（1+x）n，（n∈N*），由二项式定理展开，用导数法解决；
解三法：用数学归纳解法证明结论．．
【解析】
令n=1，2，3，有，
即，
解得  b1=1，b2=2，b3=3．由此猜想：bn=n（n∈N*）．（4分）
下面证明：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1．
解法一：设Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
有  Sn=0Cn+Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
又Sn=nCnn+（n-1）Cnn-1+（n-2）Cnn-2+…+0•Cn--------------8分
两式相加2Sn=n（Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn）=n•2n--------------10分
故Sn=n•2n-1，n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn--------------12分
解法二：构造函数f（x）=（1+x）n，（n∈N*），由二项式定理知：
      f（x）=（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn--------------8分
     f′（x）=n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1--------------10分
     令x=1，即得n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn--------------12分
解法三：（1）n=1，成立．-----------------5分
        （2）假设n=k时等式成立，即Ck1+2Ck2+3Ck3+…+kCkk=k•2k-1
当n=k+1时，
Ck+11+2Ck+12+…+kCk+1k+（k+1）Ck+1k+1
=（Ck+Ck1）+2（CK1+CK2）+…+k（Ckk-1+Ckk）+（k+1）----------8分
=（Ck+2Ck1+3Ck2+…+kCkk-1）+（Ck1+2Ck2+…+3Ck3+kCkk）+k+1
=（Ck+Ck1+Ck2+…+Ckk-1）+[Ck1+2Ck2+…+（k-1）Ckk-1]+k•2k-1+k+1
=（2k-1）+[Ck1+2Ck2+…+（k-1）Ckk-1+kCkk]+k•2k-1+1 
=2k-1+k•2k-1+k•2k-1+1---（10分）
=（k+1）•2k
也就是说，当n=k+1时，等式也成立．
由（1）（2）可知，存在bn=n，
使得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1对一切n∈N*成立．12分）