Question

已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求函数，x∈[-2，-1]的值域．

Answer

（1）先求出函数的定义域，看其是否关于原点对称，然后判定f（-x）与f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义进行判定；
（2）在区间（0，+∞）上任取两个数x1，x2且x1＜x2，然后计算f（x1）-f（x2），通过化简变形，判定其符号，根据函数单调性的定义进行判定即可；
（3）根据奇函数性质可得函数在[-2，-1]上的单调性，从而求出函数的值域．
（本题14分）
（1）证明：定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵
∴f（x）为奇函数
（2）证明：对于任意x1，x2∈（0，+∞）设x1＜x2
则=
∵0＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）【解析】
f（x）为奇函数且在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数
∴fmax（x）=f（-1）=-1+4=3fmin（x）=f（-2）=-2+2=0
∴f（x）的值域为[0，3]．