Question

已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）函数f（x）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数．

Answer

（Ⅰ）由函数的最大值为1，得到A的值为1，将A的值代入函数解析式，又图象经过M点，把M的坐标代入函数解析式，利用特殊角的三角函数值列出关于φ的方程，求出方程的解即可得到φ的值；
（Ⅱ）把第一问求出的A和φ的值代入确定出函数解析式，根据正弦函数的单调区间为[2kπ-，2kπ+]，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间；
（Ⅲ）把第一问求出的函数解析式变形，再根据平移规律：左加右减，可得第一问确定出的函数的图象向右平移个单位，得到y=sin2x，且函数为奇函数，满足题意．
【解析】
（Ⅰ）依题意得：A=1，由其图象经过点，
∴，（1分）
∴，或，（3分）
∵0＜φ＜π，
∴；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
∴f（x）的单调递增区间满足（6分）
∴f（x）的增区间为；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，
∴可将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到y=sin2x，且该函数为奇函数．（12分）