Question

已α，β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④

Answer

①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊆α，
②由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，
③若直线l上的两个点到平面α的距离相等，则直线l∥α或直线l∩α=M，且在直线上的点到M的距离相等的点满足条件
④一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个
证明：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊆α，故①错误
②由l∥β，可知在平面β内存在直线l′，使得l′∥l，则由l⊥α可得l′⊥α且l′⊆β，由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，故②正确
③若l∥α，则直线l上的所有的点到平面α的距离相等，
若直线l∩α=M，则在直线上且在平面α的两侧存在点满足距M相等的点到平面的距离相等，故③错误
④一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个，则可得α⊥β，α∥γ，则γ⊥β正确
故选C