Question

设命题P：x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立，命题Q：不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，若P且Q为真，试求实数m的取值范围．

Answer

由方程的根与系数关系可得，x1+x2=a，x1x2=-2，而|x1-x2|==代入结合a得范围可求|x1-x2|的最大值，结合已知可得|m2-5m-3|≥|x1-x2|max在a∈[-1，1]成立即可，从而可求P对应的m得范围；再由不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，则只要f（x）max＞1，从而可求Q所对应的m的范围，由P且Q为真可知P，Q都为真命题，即可求
【解析】
∵x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个实根
∴x1+x2=a，x1x2=-2
∴|x1-x2|===
当a∈[-1，1]时，
∵不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1，1]恒成立
则只要|m2-5m-3|≥|x1-x2|max在a∈[-1，1]成立即可
∴|m2-5m-3|≥3
∴m2-5m-3≥3或m2-5m-3≤-3
即m2-5m-6≥0或m2-5m≤0
解不等式可m2-5m-6≥0得，m≥6或m≤-1
解不等式m2-5m≤0得，0≤m≤5
综上可得，P：m≥6或m≤-1或0≤m≤5
∵不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解
令f（x）=|x-2m|-|x|=，
结合该函数的性质可知，函数的最大值为2m，最小值为-2m
若使得不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，则只要f（x）max＞1即2m＞1即可
Q：m
∵P且Q为真
∴P，Q都为真命题
∴
∴