Question

已知递增数列{a_n}满足：a₁=1，2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺），且a₁，a₂，a₄成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）若数列{b_n}满足：b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，且b₁≥1，n∈N⁺
①用数学归纳法证明：b_n≥a_n
②记…，证明：．

Answer

（1）由a1=1，2an+1=an+an+2（n∈N+）可知数列{an}是以1为首项的等差数列，设公差为d，由数列递增可知d＞0
由a1，a2，a4成等比数可求d，进而可求通项
（2）①（i）当n=1时，b1≥1=a1成立
（ii）假设当n=k（k≥1）时成立，即bk≥ak=k，由归纳假设证明n=k+1时，bk+1≥ak+1
②利用bn+1=bn2-（n-2）bn+3，推出，利用bn≥n，得到
通过放缩与累加，证明出结果．
【解析】
（1）∵a1=1，2an+1=an+an+2（n∈N+）
∴数列{an}是以1为首项的等差数列，设公差为d，由数列递增可知d＞0
∵a1，a2，a4成等比数
∴（1+d）2=1+3d
∴d=0（舍）或d=1
∴an=1+n-1=n
证明：（2）①∵bn+1=bn2-（n-2）bn+3，且b1≥1，
（i）当n=1时，b1≥1=a1成立
（ii）假设当n=k（k≥1）时成立，即bk≥ak=k
∴bk+1≥k+1=ak+1
当n=k+1时，bk+1=-（k-2）bk+3，
∴bk+1-ak+1=bk+1-（bk+1）=＞k2-k（k-1）+2＞0
∴bk+1≥ak+1
综上可证得，对于任意的正整数n，bn≥an都成立
②∵bn+1=bn2-（n-2）bn+3，∴，
bn2-（n-2）bn+6=bn（bn+2-n）+6≥2bn+6=2（bn+3），（∵bn≥n）
∴，
∴…≤…①
∴……②，
①+②可得，
≤，
∴．
∴…