Question

已知直线l₁为曲线f（x）=x³+x-2在点（1，0）处的切线，直线l₂为该曲线的另一条切线，且l₂的斜率为1
（Ⅰ）求直线l₁、l₂的方程
（Ⅱ）求由直线l₁、l₂和x轴所围成的三角形面积．

Answer

（Ⅰ）求出f′（x），把x=1代入导函数即可求出直线l1的斜率，然后根据斜率和（1，0）写出直线l1的方程即可；设直线l2与曲线相切的切点坐标，将横坐标代入导函数即可表示出直线l2的斜率，又l2的斜率为1，列出关于横坐标的方程，求出解得到切点的横坐标，代入f（x）中求得纵坐标，然后根据切点坐标和直线的斜率为1写出直线l2的方程即可；（Ⅱ）联立两条直线方程求出交点坐标，然后分别求出两直线与x轴的交点坐标为（1，0）和（2，0），三角形以|2-1|长为底，交点的纵坐标||为高，根据三角形的面积公式即可求出面积．
【解析】
（Ⅰ）求得f'（x）=3x2+1．
∵（1，0）在曲线上，∴直线l1的斜率为k1=f'（1）=4
所以直线l1的方程为y=4（x-1）即y=4x-4
设直线l2过曲线f（x）上的点P（x，y），
则直线l2的斜率为k2=f'（x）=3x2+1=1
解得x=0，y=x3+x-2=-2即P（0，-2）
∴l2的方程y=x-2
（Ⅱ）直线l1、l2的交点坐标为
直线l1、l2和x轴的交点分别为（1，0）和（2，0）
所以所求的三角形面积为