Question

先阅读下列不等式的证法：
已知a₁，a₂∈R，a₁²+a₂²=1，求证：|a₁+．
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，则f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂）²-8≤0，故得|a₁+．
再解决下列问题：
（1）若a₁，a₂，a₃∈R，a₁²+a₂²+a₃²=1，求证|a₁+；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．

Answer

（1）构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+（x-a3）2 ，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以，△≤0，故得|a1+a2+．
（2）推广：若a1，a2，…，an∈R，a12+a22+…+an2=1，则|a1+a2+…+．构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△≤0，可得．
【解析】
（1）证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+（x-a3）2（2分）
则f（x）=3x2-2（a1+a2+a3）x+a12+a22+a32=3x2-2（a1+a2+a3）x+1（2分）
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2+a3）2-12≤0，
故得|a1+a2+．      （2分）
（2）推广：若a1，a2，…，an∈R，a12+a22+…+an2=1，则|a1+a2+…+．   （2分）
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2，
则f（x）=nx2-2（a1+a2+…+an）x+a12+a22+…+an2=nx2-2（a1+a2+…+an）x+1．
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2+…+an）2-4n≤0，
故得．      （2分）