Question

椭圆上存在关于直线y=x+m对称的两点．求实数m的取值范围．

Answer

根据对称性可知线段AB被直线y=x+m垂直平分，且AB的中点M（x，y）在直线y=x+m上，故可设直线AB的方程为y=-x+b，联立方程整理可得7x2-8bx+4b2-12=0，结合方程的根与系数关系可求中点M，由△=64b2-28（4b2-12）＞0可求b的范围，由中点M在直线yx+m可得b，m的关系，从而可求m的范围
【解析】
设椭圆上存在关于直线y=x+m对称的两点为A（x1，y1），B（x2，y2）
根据对称性可知线段AB被直线y=x+m垂直平分，且AB的中点M（x，y）在直线y=x+m上，且KAB=-1
故可设直线AB的方程为y=-x+b
联立方程整理可得7x2-8bx+4b2-12=0
∴，y1+y2=2b-（x1+x2）=
由△=64b2-28（4b2-12）＞0可得
∴，=
∵AB的中点M（）在直线y=x+m上
∴，
∴