Question

已知数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，a_n=4a_n³-3a_n．
（1）求证：若|a_n|＞1，则|a_n+1|＞1；
（2）若存在正整数m，使得a_m=1，求证：
（ⅰ）|a_m|≤1；
（ⅱ）（其中k∈Z）（参考公式：cos3α=4cos³α-3cosα）．

Answer

（1）因为|an|＞1，利用an+1=4an3-3an，可以证明；
（2）（ⅰ）利用反证法，由（1）知若|ak|＞1，则|ak+1|＞1．所以当|a1|＞1时，有|an|＞1（n∈N*），这与已知am=1矛盾；（ⅱ）由特殊归纳得an=cos3n-1θ，再进行验证，从而推得结论．
证明：（1）因为|an|＞1，an+1=4an3-3an
所以|an+1|=|4an+13-3an+1|=|an|（4|an|2-3）＞1．（2分）
（2）①假设|a1|＞1，则|a2|=|4a13-3a1|=|a1|（4|a1|2-3）＞1
若|ak|＞1，则|ak+1|=|4ak+13-3ak+1|=|ak|（4|ak|2-3）＞1．
所以当|a1|＞1时，有|an|＞1（n∈N*），这与已知am=1矛盾，
所以|am|≤1．（6分）
②由①可知，存在θ，使得a1=cosθ．
则a2=4cos3θ-3cosθ=cos3θ
假设n=k时，有an=cos3n-1θ即ak=cos3k-1θ
则ak+1=4ak3-3ak=4（cos3k-1θ）3-3（cos3k-1θ）=cos3kθ
所以对任意n∈N*，an=cos3n-1θ，
则am=cos3m-1θ=1，3m-1θ=2kπ，其中k∈Z
即，
所以（其中k为整数）．