已知圆，椭圆，若C2的离心率为，如果C1与C2相交于A，B两点，且线段AB恰为圆...

已知圆

，椭圆

，若C₂的离心率为

，如果C₁与C₂相交于A，B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，
（I）设P为圆C₁上的一点，求三角形△ABP的最大面积；
（II）求直线AB与椭圆C₂的方程．

（Ⅰ）设圆的半径为r，易知点P到直线AB的最大距离为半径限度r，|AB|=2r，面积的最大值为，代入可求（Ⅱ）由，可得得a2=2b2，于是椭圆C2的方程为x2+2y2=2b2．设直线AB的方程为y-1=k（x-2）．联立方程，根据方程的根与系数关系及AB的中点横坐标为2可求K，代入弦长公式可求直线AB的方程及b的值，进而可求椭圆方程【解析】（Ⅰ）设圆的半径为r，易知点P到直线AB的最大距离为半径限度r，|AB|=2r 故面积的最大值为（Ⅱ）由，得a2=2b2，于是椭圆C2的方程为x2+2y2=2b2．设直线AB的方程为y-1=k（x-2）．由得（1+2k2）x2+4k（1-2k）x+2（2k-1）2-2b2=0，再设A（x1，y1），B（x2，y2），则，即，得k=-1．因此直线AB的方程为y=-x+3．此时，①式即为3x2-12x+18-2b2=0，那么．从而b2=8，椭圆方程为x2+2y2=16，故所求的直线与椭圆方程分别为y=-x+3与x2+2y2=16．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等