Question

已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a²+b²+c²＞（a-b+c）²．

Answer

左边减去右边等于2（ab+bc-ac ），用等比数列的定义以及基本不等式可得 a+c＞b，进而推出2（ab+bc-ac ）＞0，
从而证得不等式成立．
证明：∵a2+b2+c2 -（a-b+c）2=2（ab+bc-ac ）．
∵a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，∴b2 =ac≤，
开方可得 ，故 a+c≥2b＞b．
∴2（ab+bc-ac ）=2（ab+bc-b2 ）=2b（a+c-b）＞0，
∴a2+b2+c2 -（a-b+c）2＞0，∴a2+b2+c2＞（a-b+c）2 ．