Question

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F₁PF₂=120°，求椭圆离心率的取值范围．

Answer

先根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a，再利用余弦定理化简整理得cos∠PF1F2=-1，进而根据均值不等式确定|PF1||PF2|的范围，进而确定cos∠PF1F2的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆离心率的取值范围．
 【解析】
设，P（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，
则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．
在△PF1F2中，由余弦定理得，
解得．
∵x12∈[0，a2]，∴，即4c2-3a2≥0．且e2＜1
∴．
故椭圆离心率的取范围是．