Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x³-ax（a∈R）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？

Answer

（1）先由函数是偶函数得f（-x）=f（x），然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到[-1，0）时，f（x）=x3-ax即可求出在（0，1]上，函数的解析式．
（2）先求导函数，然后利用导数的符号确定函数f（x）在（0，1]上的单调性；
（3）讨论a，分别利用导数研究函数在（0，1]上的最值，然后建立等式关系，解之即可．
【解析】
（I）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），
----------（3分）
（II）f'（x）=-3x2+a，∵x∈（0，1]⇒3x2∈[-3，0），
又a＞3，∴a-3x2＞0，即f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上为增函数．-------------------7 分
（III）当a＞3时，f（x）在（0，1]上是增函数，fmax（x）=f（1）=a-1=1⇒a=2．
（不合题意，舍去）---8 分
当．如下表：

x
f'（x） + -
f（x） 最大值

∴，．------（10分）
当a＜0时，f'（x）=a-3x2＜0，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]无最大值．
∴存在上有最大值1．--------------------------（12分）