Question

已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）-1，数列{b_n}满足b_n=log_aa_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若，数列c_n有没有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，说明理由．

Answer

（I）由题意由于已知点（1，2）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，所以可以先代入求出a的值，再有数列{an}的前n项和Sn=f（n）-1，先求出函数Sn的解析式，再有数列的前n项和利用公式求出数列{an}的通项公式；
（II）由于数列{bn}满足bn=logaan+1（n∈N*），由（1）可以知道bn=n，所以anbn=n•2n-1，由该通项公式的特点可以选择错位相减法求出其前n项的和；
（III）由（II）及，可以利用假设数列cn有最大值，利用最大值的定义即可以得到．
【解析】
（Ⅰ）把（1，2）代入函数f（x）=ax，得a=2，
所以数列{an}的n项和为Sn=f（n）-1=2n-1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，
当n=1时，a1=1也适合，∴an=2n-1；
（Ⅱ）由得bn=n，所以anbn=n•2n-1，
∴Tn=1•2+2•21+3•22+…+n•2n-1①
  2Tn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n ②
由①-②得-Tn=2+21+22+…+2n-1-n•2n=
所以Tn=（n-1）2n+1；
（Ⅲ）∵cn+1-cn=（n+2）．
当n＜9时，cn+1-cn＞0，即cn+1＞cn；当n=9时，cn+1-cn=0，即cn+1=cn；
当n＞9时，cn+1-cn＜0，即cn+1＜cn．故，
故数列中有最大值为第9、10项．