Question

a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC，边b和c是关于x的方程：x²-9x+25cosA=0的两根（b＞c），D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．
（1）求角A的正弦值；       
 （2）求边a，b，c；      
（3）求d的取值范围．

Answer

（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC，利用正弦定理可得，进而利用余弦定理求cosA，从而可求sinA的值；
（2）由方程x2-9x+25cosA=0，可得x2-9x+20=0，从而b=5，c=4，利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=9，可求得a=3；
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，利用间接法求出三角形面积并让其等于6得到关于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，两者联立消去z后表示出y的关系式，利用距离大于等于0得到一个不等式组，画出此不等式组所表示的平面区域，在平面区域内得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范围．
【解析】
（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC
由正弦定理∴sin2B+sin2C-sin2A=bc（2分）
由余弦定理cosA=，（3分）
∴sinA=（4分）
（2）由（1）方程x2-9x+25cosA=0即x2-9x+20=0，则b=5，c=4（6分）
∴a2=b2+c2-2bccosA=9，∴a=3（8分）
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，
则
又x、y满足
由d=+（2x+y）得到y=-2x+5d-12，画出不等式表示的平面区域得：y=-2x+5d-12是斜率为-2的一组平行线，
当该直线过不等式表示的平面区域中的O点即原点时与y轴的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=；
当该直线过A点时，与y轴的截距最大，把A（4．，0）代入即可求得d=4，
所以满足题意d的范围为：