Question

已知椭圆具有性质：若A是椭圆C的一条与x轴不垂直的弦的中点，那么该弦的斜率等于点A的横、纵坐标的比值与某一常数的积．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer

涉及中点弦问题，可使用点差法解决，设A（x1，y1）、B（x2，y2），中点为A（m，n），代入双曲线方程作差即可得直线斜率与中点原点连线斜率之间的关系．
【解析】
双曲线C：具有类似于椭圆的性质：若A是双曲线C的一条与x轴不垂直的弦的中点，那么该弦的斜率等于点A的横、纵坐标的比值与某一常数的积．
证明：设弦的两个端点是M（x1，y1），N（x2，y2），的中点为A（m，n）
则有：，，两式相减得：

而，
代入上式得：，得证．