Question

设数列{a_n}中的前n项和．
（1）求a₁、a₂；
（2）求{a_n}的通项；
（3）令b_n=20-a_n，求数列{b_n}的前多少项和最大？最大值是多少？

Answer

（1）y由，当n=1时，，可求a1=1，当n=2时，S2=1+a2可求a2=3
（2）由．可得当n≥2时，an=Sn-Sn-1=可得an-an-1=2，结合等差数列的通项公式可求
（3）由bn=20-an=21-2n可得Sn=-n2+20n=-（n-10）2+100，结合二次函数的性质可求和的最大值及取得最大值的条件
【解析】
（1）∵
当n=1时，a1=，此时a1=1
当n=2时，S2=1+a2=，此时a2=3
（2）∵．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
∴（an-1）2=（an-1+1）2
∴（an-an-1-2）（an+an-1）=0
∵an＞0
∴an+an-1≠0
∴an-an-1=2
数列{an}是以2为公差，以为首项的等差数列
∴an=1+（n-1）×2=2n-1
（3）∵bn=20-an=21-2n
∴Sn=b1+b2+…+bn
==-n2+20n
=-（n-10）2+100
当n=10，和最大，最大值是100