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若有穷数列a1,a2…an(n是正整数),满足a1=an,a2=an-1…an=...

若有穷数列a1,a2…an(n是正整数),满足a1=an,a2=an-1…an=a1即ai=an-i+1
(i是正整数,且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”.
(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列,且b1,b2,b3,b4成等差数列,b1=2,b4=11,试写出{bn}的每一项
(2)已知{cn}是项数为2k-1(k≥1)的对称数列,且ck,ck+1…c2k-1构成首项为50,公差为-4的等差数列,数列{cn}的前2k-1项和为S2k-1,则当k为何值时,S2k-1取到最大值?最大值为多少?
(3)对于给定的正整数m>1,试写出所有项数不超过2m的对称数列,使得1,2,22…2m-1成为数列中的连续项;当m>1500时,试求其中一个数列的前2008项和S2008
(1)设{bn}的公差为d,由b1,b2,b3,b4成等差数列求解d从而求得数列{bn}, (2)先得到S2k-1=-4(k-13)2+4×132-50,用二次函数求解, (3)按照1,2,22…2m-1是数列中的连续项按照定义,用组合的方式写出来所有可能的数列,再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可. 【解析】 (1)设{bn}的公差为d,则b4=b1+3d=2+3d=11,解得d=3,∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2. (2)S2k-1=c1+c2++ck-1+ck+ck+1++c2k-1=2(ck+ck+1++c2k-1)-ck, S2k-1=-4(k-13)2+4×132-50, ∴当k=13时,S2k-1取得最大值.S2k-1的最大值为626. (3)所有可能的“对称数列”是: ①1,2,22,,2m-2,2m-1,2m-2,,22,2,1; ②1,2,22,,2m-2,2m-1,2m-1,2m-2,,22,2,1; ③2m-1,2m-2,,22,2,1,2,22,,2m-2,2m-1; ④2m-1,2m-2,,22,2,1,1,2,22,,2m-2,2m-1. 对于①,当m≥2008时,S2008=1+2+22++22007=22008-1. 当1500<m≤2007时,S2008=1+2++2m-2+2m-1+2m-2++22m-2009=2m-1+2m-1-22m-2009=2m+2m-1-22m-2009-1. 对于②,当m≥2008时,S2008=22008-1. 当1500<m≤2007时,S2008=2m+1-22m-2008-1. 对于③,当m≥2008时,S2008=2m-2m-2008. 当1500<m≤2007时,S2008=2m+22009-m-3. 对于④,当m≥2008时,S2008=2m-2m-2008. 当1500<m≤2007时,S2008=2m+22008-m-2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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