Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC₁上．
（1）试确定点N的位置，使AB₁⊥MN；
（2）当AB₁⊥MN时，求二面角M-AB₁-N的大小．

Answer

（1）由题意及平面ABC⊥平面BB1C1C且交线为BC，利用面面垂直的性质定理得AM⊥平面BB1C1C，进而得到线线线垂直，在Rt△B1BM与Rt△MCN中利用条件得到N为C1C四等分点（靠近点C）；
（2）由（1）的证明过程知道∠MEN为二面角M-AB1-N的平面角，然后利用三角形解出二面角的大小．
【解析】
（1）连接MA、B1M，过M作MN⊥B1M，且MN交CC1点N，
在正△ABC中，AM⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C=BC，
∴AM⊥平面BB1C1C，
∵MN⊂平面BB1C1C，
∴MN⊥AM．
∵AM∩B1M=M，
∴MN⊥平面AMB1，∴MN⊥AB1．
∵在Rt△B1BM与Rt△MCN中，
易知∠NMC=∠BB1M，
∴tan∠NMC=，∴NC=tan∠BB1M=，
即N为C1C四等分点（靠近点C）．
（2）过点M作ME⊥AB1，垂足为R，连接EN，
由（1）知MN⊥平面AMB1，
∴EN⊥AB1，
∴∠MEN为二面角M-AB1-N的平面角．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1，BB1=BC=2，
∴AB1=2．
由AM⊥平面BC1，知AM⊥B1M．
在Rt△AMB1中，ME=，
又MN=，
故在Rt△EMN中，tan∠MEN=，
故二面角M-AB1-N的大小为arctan．