Question

已知函数f（x）=x²-5x+10，当x∈（n，n+1]，n∈N₊时，函数f（x）的值域为D_n，将D_n中整数的个数记为a_n，则a₁=    ；a_n=    ．

Answer

由已知中函数f（x）=x2-5x+10，当x∈（n，n+1]，n∈N+时，函数f（x）的值域为Dn，将Dn中整数的个数记为an，我们根据二次函数的图象和性质，可以判断出当n=1，n=2时，an的值，进而根据n≥3时，则当x∈（n，n+1]时，函数在（n，n+1]上为增函数，可得当x∈（n，n+1]时，f（n2-5n+10）＜f（x）≤f（n2-5n+10）+（2n-4）]，进而得到答案．
【解析】
∵函数f（x）=x2-5x+10的图象是开口朝上，以x=为对称轴的抛物线，
当n=1时，即x∈（1，2]，
f（2）≤f（x）＜f（1），即4≤f（x）＜6，此时a1=2
当n=2时，即x∈（2，3]，
f（）≤f（x）≤f（3），即≤f（x）≤4，此时a2=1
当n≥3时，则当x∈（n，n+1]时，函数在（n，n+1]上为增函数
则f（n）＜f（x）≤f（n+1），
即f（n2-5n+10）＜f（x）≤f[（n+1）2-5（n+1）+10]，
f（n2-5n+10）＜f（x）≤f[（n2-5n+10）+（2n-4）]，
∵n2-5n+10＜x≤（n2-5n+10）+（2n-4），
其中满足条件的整数共2n-4个
此时an=2n-4
故an=
故答案为：2，