Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是，直线x-y-2=0与抛物线相交于M，N两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：OM⊥ON．

Answer

（1）y2=2px（p＞0）的准线方程为，故p=1．由此能求出抛物线方程．
（2）将x=y+2代入y2=2x，得y2-2y-4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1y2=-4，由y12=2x1，y22=2x2，得，由此能导出OM⊥ON．
【解析】
（1）∵y2=2px（p＞0）的准线方程为，
∴p=1．
∴抛物线方程为y2=2x．
（2）证明：将x=y+2代入y2=2x，消去x，整理，得y2-2y-4=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵M，N的纵坐标y1，y2是y2-2y-4=0的两个根，
∴y1y2=-4，
由y12=2x1，y22=2x2，得
y12y22=4x1x2，
∴，
∵，
∴，
∴OM⊥ON．