Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=AA₁=2
（1）求直线AC₁和A₁B₁所成角的大小；
（2）求直线AC₁和平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer

可以证明CA，CB，CC1两两互相垂直．以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量知识解决．
（1）利用，夹角求出直线AC1和A1B1所成角的大小；
（2）求出平面ABB1A1 的一个法向量，利用与法向量夹角求出直线AC1和平面ABB1A1所成角
【解析】
（1）∵ABC-A1B1C1中是直三棱柱，∴CC1⊥平面 ABC，又AC⊥BC，故CA，CB，CC1两两互相垂直．
如图，以C为原点，CA，CB，CC1⊥两分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），A1（2，0，2），C1（0，0，2），B1（0，2，2）
∴=（-2，0，2），=（-2，2，0），
∵cos＜，＞===
＜，＞=60°．
∴直线AC1和A1B1所成角的大小60°．
（2）设平面ABB1A1的一个法向量是=（x，y，z）
则即，取x=1，得=（1，1，0）
设直线AC1和平面ABB1A1所成角为θ，
∵sinθ=cos＜，＞==
∴θ=30°，即直线AC1和平面ABB1A1所成角为30°