Question

已知正方体ABCD-A，B1C1D1中．
（1）求异面直线ABCD与A₁B₁C₁D₁所成角的大小
（2）求证：BD⊥A₁C；
（3）求三棱锥C₁-A₁BD的体积．

Answer

（1）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题由于四边形CDA1B1是平行四边形∴A1D∥B1C，即用第一种方法较为简单．
（2）欲证明直线与直线垂直，可以先证明直线与平面垂直．由BD⊥平面AA1C，可得BD⊥A1C
（3）利用割补法易得：VC-ABD=VABCD-ABCD-4VA-ABD
【解析】
（1）连接A1D，A1B，知四边形CDA1B1是平行四边形
∴A1D∥B1C，∴∠A1DB或其补角是异面直线BD与B1C所成的角（2分）
又∵A1D=A1B=BD=a，∴∠A1DB=60°（3分）
∴异面直线BD与B1C所成的角是60°（4分）
（2）证明：由正方体知：⊥

⇒
⇒
⇒BD⊥AC1
（3）【解析】
VA-ABD═×S△ABD×AA1=××a×a×a=a3（10分）
VC-ABD=VABCD-ABCD-4VA-ABD=a3-4×a3=a3（12分）