Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中点
（1）求证：AC_l∥平面B₁DC
（2）若E是A₁B₁的中点，点P为一动点，记PB₁=x，点P从E出发，沿着三棱柱的棱，按E经A₁到4的路线运动，求这一过程中三棱锥P-BCC₁的体积的表达式y（z），并求V（x）的最大值和最小值．

Answer

（1）欲证AC1∥面B1DC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC1与面B1DC内一直线平行即可，取B1C中点F，又D为AB中点则DF∥ACl，DF⊂面B1DC，ACl⊄面B1DC，满足定理所需条件；
（2）根据条件可知PB1⊥平面BCC1，当点P从E点出发到A1点时，即x∈[1，2]时，求出Vp-BCC，当点P从A1点出发到A点时，即x∈[2，2]，求出Vp-BCC，然后利用分段函数求出V（x）的体积的最值．
【解析】
（1）取B1C中点F，又D为AB中点∴DF∥ACl（2分）
又∵DF⊂面B1DC，ACl⊄面B1DC
∴AC1∥面B1DC（4分）
（2）已知PB1=x，S△BCC=2
又A1B1⊥平面BCC1
∴PB1⊥平面BCC1（6分）
当点P从E点出发到A1点时，即x∈[1，2]时，Vp-BCC=•S△BCC•PB=
当点P从A1点出发到A点时，即x∈[2，2]，Vp-BCC=•S△BCC•AB=
从而V（x）=（8分）
故=V（1）≤V（x）≤V（2）=
即V（x）最大值是，最小值是（10分）