Question

已知函数f（x）=log_a（8-x-）在区间[1，2]上恒有意义．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）把函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差M表示成实数a的函数．

Answer

（I）因为函数f（x）=loga（8-x-）在区间[1，2]上恒有意义故∀x∈[1，2]，有8-x-恒成立转化为 4a＜x（8-x）对∀x∈[1，2]恒成立即4a＜[x（8-x）]min然后利用二次函数的单调性判断求最小值即可．
（Ⅱ）由于f（x）为复合函数因此要利用复合函数的单调性来判断f（x）的单调性．由（1）知a∈
因此要分0＜a＜1，来讨论故令g（x）=（1≤x≤2）则故导函数的符号取决于的大小，所以要分，1＜，a＜1，2＞2即a＞1
三种情况来讨论只要判断出单调性就可求解了．
（本小题满分13分）
【解析】
（1）∀x∈[1，2]，有8-x-
故 4a＜x（8-x），令h（x）=x（8-x）
∴函数在区间[1，2]上为增函数，当x=1时有最小值7，故4a＜7，由a＞0且a≠1
因此a∈
（Ⅱ）令g（x）=（1≤x≤2）则，，
①当时g′（x）≤0，等号成立的条件时当且仅当x=1且，此时g（x）是单调递减函数所以f（x）为单调递增函数，故M=f（2）-f（1）=
②当1＜，即a＜1时，
因此当g′（x）＞0，g（x）是单调递增函数；
    当时，g′（x）＜0，g（x）是单调递减函数；
故

因此M=
③当2＞2即a＞1时g′（x）＞0，g（x）是单调递增函数，所以f（x）是单调递增函数
故M=f（2）-f（1）=
综上所述当或1＜a时M=，当时M=，当时M=．