如图，在函数y=x3-x的图象上取4个点Ai（xi，yi），过点Ai作切线li（...

如图，在函数y=x³-x的图象上取4个点A_i（x_i，y_i），过点A_i作切线l_i（i=1，2，3，4），如果l₁∥l₃，且l₁，l₂，l₃，l₄围成的图形是矩形记为M．
（1）证明四边形A₁A₂A₃A₄是平行四边形；
（2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求l₁与l₂的斜率，若没有，请证明．

（1）先设直线li的斜率为ki（i=1，2，3，4），利用导数的几何意义得出切线的斜率，由题意证出A1与A3，A2与A4都关于原点对称，从而得出故四边形A1A2A3A4是平行四边形；（2）设l1与l3的距离为，l2与l4的距离为列出矩形M的短边与长边的比，令（x＞1）利用导数工具研究其单调性和最值，从而得出矩形M的短边与长边的比有最大值及相应的l1与l2的斜率．【解析】（1）设直线li的斜率为ki（i=1，2，3，4），由y′=3x2-1，得ki=3xi2-（12分）由题意k1=k3，k2=k4，又点A1A2A3A4不重合，故x1=-x3，x2=-x4，从而y1=-y3，y2=-y4，-（5分）因此A1与A3，A2与A4都关于原点对称，故四边形A1A2A3A4是平行四边形；（7分）（2）有最大值；（9分）设k1＞0，k2＜0li：y-yi=ki（x-xi），即y-kix+2xi3=0，且k1k2=-1 设l1与l3的距离为，l2与l4的距离为（k＞1）（11分）令（x＞1），当时为增函数，当时为减函数，故当，（14分）因为，因此矩形M的短边与长边的比有最大值，l1与l2的斜率分别为和，（16分）

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

已知函数f（x）=log_a（8-x- manfen5.com 满分网

）在区间[1，2]上恒有意义．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）把函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差M表示成实数a的函数．

查看答案

有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

查看答案

函数y=f（x）是奇函数，它的定义域为R，当x＞0时，f（x）=x²-x-4．
（Ⅰ）当x≤0时，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求不等式f（x）＜2的解集．

查看答案

如图，△OAB是斜边长为4的等腰直角三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．
（Ⅰ）求函数f（t）的解集；
（Ⅱ）画出函数y=f（t）的图象．

查看答案

已知命题p：曲线

=1为双曲线；命题q：函数f（x）=（4-a）^x在R上是增函数；若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．

查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等