Question

已知菱形ABCD的两条对角线交于点O，且AC=8，BD=4，E、F分别是BC、CD的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC、
（1）求证EF⊥平面AOC；
（2）求AE与平面AOC所成角的正弦值；
（3）求点B到平面AEF的距离．

Answer

（1）欲证EF⊥平面AOC，而EF∥BD，可先证BD⊥平面AOC，而BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O满足定理条件；
（2）设EF与交于点G，连接AG，根据线面所成角的定义可知∠EAG是AE与平面AOC所成的角，在三角形EAG中求出此角的正弦值即可；
（3）点B到平面AEF的距离等于点O到平面AEF的距离，而点O到平面AEF的距离点等于点O到AG的距离，在△AOG中即可求出点B到平面AEF的距离．
【解析】
（1）证：由BD⊥AO，BD⊥OC，得BD⊥平面AOC，
又E，F分别为BC，CD的中点，EF∥BD，
所以，EF⊥平面AOC．（4分）
（2）设EF与交于点G，连接AG．由（1）EF⊥平面AOC，
得AE与平面AOC所成的角为∠EAG．（6分）
AG=，EG=1，AE=，sin∠EAG=，
所以，AE与平面AOC所成角的正弦值为．（8分）
（3）由EF∥BD，得BD∥平面AEF，
所以，点B到平面AEF的距离等于点O到平面AEF的距离
又EF⊥平面AOC，EF⊂平面AEF，得平面AOC⊥平面AEF，
所以，点O到平面AEF的距离点等于点O到AG的距离．（10分）
在△AOG中，AO=4，OG=2，AG=，
所以，点B到平面AEF的距离为．（12分）