Question

已知x=0是函数f（x）=（x²+bx）e^x的一个极值点．
（1）求f（x）；
（2）若不等式f（x）＞ax³在[，2]内有解，求实数a的取值范围；
（3）函数y=f（x）在x=a_n（a_n＞0，n∈N^*）处的切线与x轴的交点为（a_n-a_n+1，0）．若a₁=1，b_n=+2，问是否存在等差数列{c_n}，使得b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2对n∈N^*都成立？若存在求出{c_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由f′（x）=[x2+（6+2）x+b]ex和的性质知极值点，f′（x）=0，得b=0，由此能求出f（x）；
（2）由x2ex＞ax3在[，2]内有解，知a＜在[，2]内有解，令g（x）=，x∈[，2]，则只要a＜（g（x））max．再由导数的性质能求出a的范围．
（3）由题设知函数y=f（x）在x=an处的切线方程为，由切线与x轴的交点为（an-an+1，0），所以an=anan+1+2an+1．由此得bn+1=2bn-1，bn=2n+1，由此能够导出存在等差数列{cn}对n∈N*都有b1c1+b2c2+…+bncn=2n+1（2n-1）+n2+2n+2．
【解析】
（1）∵f′（x）=[x2+（6+2）x+b]ex，
又x=0是函数f（x）=（x2+bx）ex的一个极值点，
∴f′（x）=0，得b=0，故f（x）=x2ex（2分）
（2）∵不等式f（x）＞ax3在[，2]内有解，即x2ex＞ax3在[，2]内有解，
∴a＜在[，2]内有解，令g（x）=，x∈[，2]，
则只要a＜（g（x））max．（3分）
∵g′（x）=，
∴g（1）=e是该函数的最小值；
∵g（）=，g（2）=，g（2）＞g（），
∴a的取值范围为（-∞，）（5分）
（3）∵f（x）=x2ex，f′（x）=（x2+2x）ex
∴函数y=f（x）在x=an处的切线方程为
∵切线与x轴的交点为（an-an+1，0），
∴
化简得an=anan+1+2an+1．（7分）
∵a1=1，bn=，∴b1=3，=bn-2
∴bn+1-2=1+2bn，整理得bn+1=2bn-1，
即bn+1-1=2（bn-1），∴{bn-1}是公比为2，首项为2的等比数列，
∴bn-1=（b1-1）2n-1，即bn=2n+1．（9分）
假设存在等差数列{cn}对n∈N*都有b1c1+b2c2++bncn=2n+1（2n-1）+n2+2n+2①
当n≥2时有b1c1+b2c2++bn-1cn-1=2n（2n-3）+n2+1②
①-②得bncn=2n（2n+1）+2n+1，即（2n+1）cn=2n（2n+1）+2n+1，
∴当n≥时有，cn=2n+1，
当n=1时，b1c1=9，而b1=3，∴c1=3也适合cn=2n+1．
故{cn}是首项为1，公差为2的等差数列．
即存在等差数列{cn}对n∈N*都有
b1c1+b2c2+…+bncn=2n+1（2n-1）+n2+2n+2．（13分）