Question

如图，有一块边长为15cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，若该盒子的体积最大，那么截去的小正方形的边长x是    cm．

Answer

先利用柱体的体积计算公式求出盒子的体积V关于x的函数关系式和x的取值范围，所得结果为三次函数，再利用导数求函数在开区间上取最大值时对应的x的值即可
【解析】
∵截去的小正方形的边长为xcm，
∴折成的无盖盒子底面是边长为（15-2x）cm的正方形，高是xcm．
∴盒子的体积V=x（15-2x）2，（0＜x），
V′=x′（15-2x）2+x[（15-2x）2]′=（15-2x）2-4x（15-2x）=12x2-120x+225
令V′=0，即12x2-120x+225=0，解得，x=或x=
∵0＜x，
∴x=
∵当0＜x＜时，V′＞0，当x＞5时，V′＜0，
∴函数V=x（15-2x）2在（0，）上是增函数，在（，）上为减函数
∴当x=时，V有极大值．
又∵V关于x的函数在区间（0，）只有一个极大值，∴极大值也是区间（0，）上的最大值．
∴当x=时，该盒子的体积最大．
故答案为