Question

在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则mn的最大值为    ．

Answer

延长AO至A'使AO=A'O，延长A'C交MN 于M'，利用O是BC的中点，得到三角形全等和相似，利用相似比和线段的关系列出等式，再把条件代入求出m+n的值，然后利用基本不等式可求出mn的最大值．
【解析】
延长AO至A'使AO=A'O，延长A'C交MN 于M'，如图：
则△OBM≌△OCM'，∴BM=CM'，
∵△NAM∽△NCM'，
∴=，即 =，
∵，
∴，
代入上式得，n-1=1-m，则m+n=2
∴m+n=2≥2即mn≤1
故mn的最大值为1
故答案为：1