Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为CC₁、B₁C₁、DD₁的中点，O为BF与B₁E的交点，
（1）证明：BF⊥面A₁B₁EG
（2）求直线A₁B与平面A₁B₁EG所成角的正弦值．

Answer

（1）先在正方形BCC1B1中根据条件得到△BB1F≌△B1C1E，进而推得 BF⊥B1E；再结合DC⊥平面BCC1B1，GE∥DC得到BF⊥GE即可证明结论；
（2）由（1）知，BO⊥平面A1B1EG；得到∠BA1O即为直线A1B与平面A1B1EG所成角；然后通过求边长即可求出结论．
（1）证明：因为 BB1=B1C1，B1F=C1E，BF=B1E
所以△BB1F≌△B1C1E
从而∠C1EB1=∠BFB1
在Rt△B1C1E中∠C1EB1+∠C1B1E=90°
故∠BFB1+∠C1B1E=90°从而∠FOB1=90°
即BF⊥B1E…（2分）
又因为DC⊥平面BCC1B1，GE∥DC
所以GE⊥平面BCC1B1…（4分）
又因为BF⊂平面BCC1B1
故BF⊥GE
又因为B1E∩GE=E
所以BF⊥平面A1B1EG…（6分）
（2）【解析】
如右图，连接A1O         
由（1）知，BO⊥平面A1B1EG
故∠BA1O即为直线A1B与平面A1B1EG所成角…（8分）
设正方体的棱长为1，则，
在Rt△BB1F中，有故 ==…（10分）
所以…（12分）