Question

已知直线l过点M（-3，-3），圆N：x²+y²+4y-21=0，l被圆N所截得的弦长为．
（1）求点N到直线l的距离；
（2）求直线l的方程．

Answer

（1）设直线l与圆N交于A和B两点，过N作ND垂直于AB，根据垂径定理得到D为AB中点，把圆N的方程化为标准方程，找出圆心N的坐标和半径r，由|AB|的长，得到|DB|的长，再由半径r的值，利用勾股定理求出|ND|的长，即为N到直线l的距离；
（2）若直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x=-3，求出此时|AB|的长，发现与已知的弦长不相等，推出矛盾，故直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，再根据直线l过M点，表示出直线l的方程，由（1）得到N到直线l的距离，再利用点到直线的距离公式表示出圆心N到设出的直线l的距离，进而列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l的方程．
【解析】
（1）设直线l与圆N交于A，B两点（如图）
作ND⊥AB交直线l于点D，显然D为AB的中点，…（2分）
由x2+y2+4y-21=0化为标准方程得：x2+（y+2）2=25，
∴圆心N（0，-2），r=5，…（4分）又，
∴|ND|=，即点N到直线l的距离为；…（6分）
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-3，
∴N到l的距离为3，又圆N的半径为5，
易知，即，不符合题意，
故直线l的斜率存在；…（8分）
于是设直线l的方程为：y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0，
∴圆心N（0，-2）到直线l的距离，①
由（1）知，，②…（10分）
由①②可以得到，
则直线l的方程为2x-y+3=0或x+2y+9=0．…（12分）