Question

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁C₁和C₁D₁的中点，点A₁到平面DBEF的距离    ．

Answer

以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为X，Y，Z轴的正方向，建立坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDFE的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可得点A1到平面DBFE的距离．
【解析】
建立空间直角坐标系D-xyz，则B（1，1，0），E（，1，1），F（0，，1），
设 =（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由 ⊥，⊥，=（1，1，0），
=（0，，1）得：•=x+y=0 •=y+z=0
所以：x=-yz=-令y=1，得 =（-1，1，），
设点A在平面BDFE上的射影为H，
连接A1D，A1D是平面BDFE的斜线段，
则：cos＜，＞=，
所以|cos＜，＞=1所以点A1到平面BEFE的距离为1；
故答案为：1