Question

定义：如果函数y=f（x）（x∈D）满足（1）f（x）在D上是单调函数；（2）存在闭区间|a，b|⊆D，使f（x）在区间[a，b]上值域也是[a，b]，则称f（x）为闭函数，则下列函数：
（1）f（x）=x²+2x，x∈[-1，+∞）；（2）f（x）=x³，x∈[-2，3]；（3）f（x）=lgx，x∈[1，+∝）
其中是闭函数的是    ．（只填序号）

Answer

利用闭函数的定义，对于（1）（2）（3）单调性显然，关键是找出闭区间，使得结论成立．
【解析】
（1）f（x）=（x+1）2-1，对称轴为x=-1，存在闭区间[-1，1]，显然满足，故是闭函数；（2）f（x）=x3，在x∈[-2，3]上是单调增函数．存在闭区间[-1，1]，故是闭函数；（3）f（x）=lgx，x∈[1，+∝）是单调增函数，由于x=lgx有且只有一解，故不满足存在闭区间|a，b|⊆D，使f（x）在区间[a，b]上值域也是[a，b]
故答案是：（1）（2）