Question

已知函数f（x）=
（1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的单调性
（2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据函数单调性的定义说明，设x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，然后判定f（x1）-f（x2）的符号，即可得到函数的单调性；
（2）先用分离常数法把函数分离，再分 和1的大小进行讨论，并利用函数的单调性来求f（x）的最小值，即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a＜0时，设x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2
f（x1）-f（x2）=-
=
∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，a＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在[1，+∞）上为增函数  …（6分）
（2）函数f（x）=x++2在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
若 ＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）min=f（ ）=2 +2．
若 ≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）min=f（1）=a+3．
而不等式f（x）＞0恒成立，说明a+3＞0，得a＞-3
求实数a的取值范围（-3，+∞）．