Question

四边形ABCD的两条对角线AC与BD的长分别为8厘米与12厘米，它们的夹角为，则S_{四边形ABCD}=    平方厘米．

Answer

根据题意画出图形，如图所示，过D和B分别作AC边上的垂线，垂足分别为E和F，设两对角线的夹角为α，根据它们的夹角为，得到cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，在直角三角形DOE中，由正弦定理得出|DE|=|OD|，同理可得|BF|=|OB|，把四边形ABCD的面积分为三角形ADC与三角形ABC两部分来求，都以AC为底边，高分别为DE及BF，利用三角形的面积公式表示出两三角形面积，相加后，把得出的等式代入即可得到四边形的面积等于对角线乘积的，把两对角线的值代入即可求出四边形ABCD的面积．
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：
过D作DE⊥AC，过B作BF⊥AC，设∠DOE=∠BOC=α，
∴cosα=，又α∈（0，180°），
∴sinα==，
在△DOE中，根据正弦定理得：=，
可得：|DE|=|DO|，
同理可得：|FB|=|OB|，又|AC|=8cm，|BD|=12cm，
则S四边形ABCD=S△ACD=+S△ABC
=|AC|•|DE|+|AC|•|BF|
=|AC|•（|DE|+|BF|）
=|AC|•（|DO|+|OB|）
=|AC|•|BD|
=16（平方厘米）．
故答案为16