Question

已知n（n∈N^*，n≥2）是常数，且x₁，x₂，…，x_n是区间内任意实数，当n=366时，函数f（x_n）=sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁的最大值为    ．

Answer

利用柯西不等式，先证明结论sinx1cosx2+sinx2cosx3+…+sinxncosx1≤n，等号成立的条件是sinxn=cosxn（n=1.2…n）
即x1=x2=…xn=45°时，等号成立，再令n=366，代入即可得结论．
【解析】
用柯西不等式
[（sinx1）2+（cosx1）2+…（sinxn）2+（cosxn）2][（sinx1）2+（cosx1）2+…（sinxn）2+（cosxn）2]
≥[（sinx2cosx1+sinx3cosx2+…sinx1cosxn）+（sinx1cosx2+sinx2cosx3+…+sinxncosx1）]2
∵sinx2cosx1+sinx3cosx2+…sinx1cosxn-（sinx1cosx2+sinx2cosx3+…+sinxncosx1）
=sin（x2-x1）+sin（x3-x2）+…sin（x1-xn）
把这些数按照x2≤x3≤x4≤…≤xn≤x1的排列（根据这些数据的任意性，这样是做到的）
那么上式大于等于0
∴sinx2cosx1+sinx3cosx2+…sinx1cosxn≥sinx1cosx2+sinx2cosx3+…+sinxncosx1
∴（sinx1）2+（cosx1）2+…（sinxn）2+（cosxn）2≥2（sinx1cosx2+sinx2cosx3+…+sinxncosx1）
∵左边=n
∴sinx1cosx2+sinx2cosx3+…+sinxncosx1≤n
等号成立的条件是sinxn=cosxn（n=1.2…n）
即x1=x2=…xn=45°时，等号成立
令n=366，则sinx1cosx2+sinx2cosx3+…+sinxncosx1
∴sinx1cosx2+sinx2cosx3+…+sinxncosx1最大值为183
故答案为：183．