Question

已知双曲线C：-=1 （a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴长为2．
（1）求双曲线C的方程； （2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆 x²+y²=5上，求m的值．

Answer

（1）由=，b=，知a=1，由此能求出双曲线方程．
（2）由，得 x2-2mx-m2-2=0，故x1+x2=2m，所以AB中点（m，2m），代入圆方程能求出m的值．
【解析】
（1）∵e==，
∴c=a，
∵2b=，
∴b=，
∵c2-a2=2，
∴a=1，
∴所求双曲线方程为 x2-=1；
（2）由，
消y得 x2-2mx-m2-2=0，
△=4m2+4（m2+2）=8（m2+1）＞0，
x1+x2=2m，
∴AB中点（m，2m），
代入圆方程得m2+4m2=5，
∴m=±1．