Question

已知抛物线C：y²=4x．
（1）设圆M过点T（2，0），且圆心M在抛物线C上，PQ是圆M在y轴上截得的弦，当点M在抛物线上运动时，弦长|PQ|是否为定值？说明理由；
（2）过点D（-1，0）的直线与抛物线C交于不同的两点A、B，在x轴上是否存在一点E，使△ABE为正三角形？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设圆心M（，y），则圆半径r2=（-2）2+y2，利用圆心M到y轴的距离结合直角三角形中的边的关系，即可求得弦长|PQ|为定值；
（2）设直线AB的方程为x=my-1，将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用垂直关系即可求得AB中垂线方程，从而得出△ABE为正三角形时的等式，即可解决问题．
【解析】
（1）设圆心M（，y），则圆半径r2=（-2）2+y2，
圆心M到y轴的距离为d=，
∴弦长|PQ|=2
=2=2=4 （定值）；
（2）设直线AB的方程为x=my-1，消x得y2-4my+4=0
△=16m2-16=16（m2-1）＞0，∴m2＞1，
∵y1+y2=4m，
∴AB的中点为N（2m2-1，2m），
∴AB中垂线方程为y-2m=-m（x-2m2+1），令y=0，∴x=2m2+1，
即E坐标为（2m2+1，0），
∴|EN|==2，
又|AB|=•4，当△ABE为正三角形时，
|EN|=|AB|，∴2=••4，
∴m2=，满足△＞0，∴存在点E（ ，0）．