Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+b²，当x=-1时，有极值8，则a+b=    ．

Answer

根据函数f（x）=x3+ax2+bx+b2在x=-1时，有极值8，可知f′（-1）=0和f（-1）=8，对函数f（x）求导，解方程组 ，注意验证，可求得答案．
【解析】
由f（x）=x3+ax2+bx+b2，
得f′（x）=3x2+2ax+b，
，即 ，
解得 或 ，
当时，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2，
当x＜-1时，f′（x）＞0；当x＞-1时，f′（x）＞0，
故函数f（x）在-1的两边都是增函数，
此时，函数在x=-1时没有极值，应舍去．
当时，f′（x）=3x2+x-=（x+1）（6x-5）
当x＜-1时，f′（x）＞0；当＞x＞-1时，f′（x）＜0，
故函数f（x）在-1的两边导数值异号，
此时，函数在x=-1时有极值．
∴，
∴a+b=，
故答案为：．