Question

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，T_n为等比数列{b_n}的前n项积．
（1）求证：数列S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差数列，并给出更一般的结论（只要求给出结论，不必证明）；
（2）若T₁₀=10，T₂₀=20，求T₃₀的值？类比（1）你能得到什么结论？（只要求给出结论，不必证明）．

Answer

（1）设等差数列{an}的公差为d，则，由此能够证明对于任意正整数k，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等差数列．
（2），由T10=10，T20=20，得b110q45=10，b120q190=20，得，，由此能够证明数列Tk，，，…成等比数列．
（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，
则，
所以．
同理S20=20a1+190d，S30=30a1+435d．
所以，S20-S10=10a1+145d，S30-S20=10a1+245d，
所以，S10+（S30-S20）=20a1+290d=2（S20-S10），
所以，数列S10，S20-S10，S30-S20成等差数列．  …（5分）
∴对于任意正整数k，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等差数列．…（7分）
（2）【解析】
∵等比数列{bn}的前n项积是Tn，
∴，
∵T10=10，T20=20，∴b110q45=10，b120q190=20，
∴，，
故．…（12分）
类比（1）能得到结论：对于任意正整数k，数列Tk，，，…成等比数列．…（14分）