Question

已知椭圆中心在原点，上顶点为A（0，1），右焦点为F（1，0），右准线为l，l与x轴交于P点，直线AF交椭圆与点B．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：PF是∠APB的平分线；
（3）在l上任意取一点Q，求证：直线AQ，FQ，BQ的斜率成等差数列．

Answer

（1）因为椭圆中心在原点，上顶点为A（0，1），右焦点为F（1，0），所以b=1，c=1，a2=2，由此能求出椭圆的方程．
（2）准线方程为x=2，直线AB的方程：y=-x+1，代入，得3x2-4x=0，所以，，=-kAP，由此能证明PF是∠APB的平分线．
（3）设Q（2，t）（t∈R），，kFQ=t，=，由此能证明直线AQ，FQ，BQ的斜率成等差数列．
（1）【解析】
因为椭圆中心在原点，上顶点为A（0，1），右焦点为F（1，0），
所以b=1，c=1，a2=2，
所以椭圆的方程为…（4分）
（2）证明：准线方程为x=2，
∵直线AB过A（0，1），F（1，0）
∴直线AB的方程：y=-x+1，代入，
整理，得3x2-4x=0，
解得x=0或，…（6分）
把x=代入，得y=，
∴，，=-kAP，
所以PF是∠APB的平分线．…（10分）
（3）证明：设Q（2，t）（t∈R），
，kFQ=t，
=，
因为=2kFQ，
所以直线AQ，FQ，BQ的斜率成等差数列．…（16分）