Question

将一张长为9厘米，宽为厘米的长方形纸片ABCD的一只直角斜折，使D点总是落在对边AB上，然后展开这些折痕l．这样继续下去，得到若干折痕．
（1）请说明这些折痕围成的轮廓，它们形成何种曲线？建立适当的平面直角坐标系，写出该曲线的方程；
（2）记折痕l与边CD的夹角为θ，求出l与θ之间的函数关系式；
（3）求折痕l的最小值．

Answer

（1）以边AD所在的直线为y轴，以边AD为垂直平分线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系．则可求A，B，C，D的坐标，在折痕上取一点M，且MD′⊥AB，则可得，MD′=MD，即折痕围上的任意一点到直线y=2的距离与到点D（0，2）的距离相等，围成的轮廓为抛物线的一部分，曲线对应的曲线可求     
（2）由题意可得，则．当l过点C时，θ最小，而，从而可求sinθ得范围          
（3）由，令t=sinθ，则，，利用导数可求函数的最小值
【解析】
（1）以边AD所在的直线为y轴，以边AD的垂直平分线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系
．则（），B（9，2），C（），D（0，-2）
连接DD′，则l是DD′的垂直平分线．
∴在折痕上取一点M，且MD′⊥AB，则可得，MD′=MD，即折痕围上的任意一点到直线y=2的距离与到点D（0，2）的距离相等，围成的轮廓为开口向下的抛物线的一部分，焦点为（0，-2）
曲线对应的曲线的方程为（）．        …（4分）
（2）因为，所以．
当l过点C时，θ最小，可得此时，
又因为，所以．            …（8分）
（3），
令t=sinθ，则，，，令f′（t）=0，．
当时，f′（t）＜0，所以f（t）在上递减；
当时，f′（t）＞0，所以f（t）在上递增；
所以f（t）min=．                   …（16分）