Question

已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）（文科做）若线段OA与线段OB互相垂直（其中O为坐标原点），求的值；
（3）（理科做）若线段OA与线段OB互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer

（1）由可求a，c结合a2=b2+c2可求ab，进而可求椭圆的方程，结合方程的根与系数的关系，利用弦长公式可求AB
（2）（文）设P（x1，y1），P（x2，y2），由OP⊥OQ⇔x 1x 2+y1 y 2=0即2x1x2-（x1+x2）+1=0，结合韦达定理可求
（3）（理）设A（x1，y1），B（x2，y2）由，联立方程由△＞0整理得a2+b2＞1结合方程的根与系数关系整理得：a2+b2-2a2b2=0，结合椭圆的性质b2=a2-c2=a2-a2e2代入上式可求
【解析】
（1）∵
∴
∴椭圆的方程为…（2分）
联立…（3分）
∴
…（7分）
（2）（文）设P（x1，y1），P（x2，y2），由OP⊥OQ⇔x 1x 2+y1 y 2=0
∵y1=1-x1，y2=1-x2，代入上式得：2x1x2-（x1+x2）+1=0，
又将y=1-x代入⇒（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，∵△＞0，
∴，代入①化简得 …（14分）
（3）（理）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵

由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0整理得a2+b2＞1…（8分）
∴
整理得：a2+b2-2a2b2=0∴b2=a2-c2=a2-a2e2代入上式得，
∴，∴，
∴
由此得，
∴故长轴长的最大值为．