Question

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F₁F₂，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁•e₂的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．
C．
D．

Answer

设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1•e2的取值范围是．
【解析】
设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．
由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，
∴2c＜10，2c+2c＞10，
⇒＜c＜5．⇒，
∴=；
=．
∴，
故选C．